经过固定点
斜抛物体经过某固定点时,不同抛射角对应不同的初速度,下面我们来求解所需的最小速度。我们将起点和点相连,转化为斜面上的运动,则可以直接引用上一节的结论,此时
1.轨迹方程
整理成的函数后,跟上一节一样的想法,每一个落点,对应两个不同的抛射角,且两个抛射角相等时,抛射速度最小。由
(相关资料图)
得
2.沿斜面分解
得到
后,结论同上。
3.包络线
将直接代入包络线方程,对应速度即为最小速度。
4.矢量图
跟上一节类似的想法,射程一定时,为定值,且为定值,要使得最小,则,之后所得结论同上。
5.函数思想
得到
后,表示为
然后对求导求最值。由于求导是所有最值问题的通法,本篇只在此介绍一次,当求导计算比较复杂的时候,可以选用其他方法。
其他最值问题
抛至平台
从地面上一点以一定的初速度斜抛物体,落到高度为的平台上,求最大射程。
平台对应的曲线方程为.轨迹方程和包络线的方法同上,矢量图的方法有所区别:
此时实际位移方向不再恒定,但初末高度差为定值。
由能量守恒:
(也可由运动方程得:)。面积
与水平射程成正比。水平射程最大时,三角形面积最大。
则问题转化为:长度不变,求面积的最大值。易知此时,
注:如果是从屋顶往下斜抛,将改成即可。
经过两固定点
如果起点固定,加上另外两固定点,斜抛轨迹就唯一确定。所以这类问题,起点是不固定的,我们只讨论起点在水平面上的情况。
地面与点高度差一定,由于能量守恒,当物体初速度最小时,对应点的速度一定也最小,问题就转化为:从点抛出物体经过点,求点最小速度,求出点速度和抛射角之后,再反推回点的速度即可。
如图所示,一仓库髙25m ,宽40m.今在仓库前l 、高5m 的处抛一石块,使石块抛过屋顶,问距离为多大时(单位:m ),初速度之值最小?
假设屋顶左端为,右端为,初速度最小时,石块刚好经过和.由能量守恒,最小时,经过点速度也最小,问题转化为从点斜抛到点的最小速度,竖直运动时间
水平射程
对应抛射角,将过程反演,看成石块从点往左下方斜抛,水平和竖直速度均为,代入竖直位移方程
得
经过曲面
轨迹方程
斜抛刚好经过曲面时,对应轨迹刚好与曲面相切,联立轨迹方程和曲线方程,“相切”=“重根”。得到根的判别式方程,之后分析过程同上。
包络线
如果物体是从固定点斜抛,当轨迹刚好与曲面相切时,包络线也刚好与曲面相切,联立包络线和曲线方程,也可以求解。
一物体从半径为的球面顶端斜抛,求不与球面相碰的最小速度。
以抛出点为原点,联立圆的方程和包络线方程
得
令,得
练习
如图所示,一人做射靶游戏,为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上,每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上(已知水平线离地面高度为,枪与靶相距为,子弹发射速率为,且. 求圆心高度和圆的半径.
答案:
一根直径20cm的树干平放在水平的地上。一只懒惰的蚱蜢想跳过树干,求蚱蜢满足条件的最小离地速度(忽略空气阻力)。
答案:
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